miércoles, 14 de diciembre de 2011

Disparo fallido y cantidad de movimiento.

Vamos a usar el siguiente video como una excusa para analizar qué es lo que salió mal. La muchacha gatilla el revólver, pero éste retrocede y la golpea en la cabeza. Afortunadamente nadie salió herido.




¿Por qué ocurrió esto? Antes de responder a esa pregunta veamos qué es la conservación de la cantidad de movimiento y qué tiene que ver con el video.




Cantidad de movimiento y primera ecuación cardinal

La cantidad de movimiento o momento lineal es una magnitud vectorial, que en mecánica newtoniana se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad. 


Supongamos ahora que tenemos un sistema de partículas y queremos estudiar sus movimientos conjuntos cuando interactúan entre sí y con partículas que no pertenecen al sistema en consideración. Para ello debemos conocer las fuerzas que actúan sobre cada partícula. Sobre cada partícula del sistema actuarán fuerzas internas producidas por el resto de las otras partículas pertenecientes al sistema. También habrá fuerzas externas actuando con el sistema, provocadas por partículas o cuerpos que no pertenecen al sistema.

Se puede demostrar, a partir de las leyes de Newton el siguiente resultado:

"La derivada  con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento total de un sistema de partículas  es igual a la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre ese sistema".


 Esta ecuación se conoce como la primera ecuación cardinal y vincula a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema con el movimiento del mismo. Notemos que las fuerzas internas no intervienen en ese resultado, porque sus contribuciones se cancelan mutuamente por la tercera ley de Newton en cada partícula. Sólo se tienen en cuenta las fuerzas externas al sistema.




Conservación de la cantidad de movimiento

De la ecuación anterior se deduce que: 


Si la suma de fuerzas externas que actúan sobre el sistema de partículas es cero, es decir:


Entonces la derivada de P también es cero:


De donde se concluye que P tiene que ser constante (no varía con el tiempo):


Este simple resultado se conoce como principio de la conservación de la cantidad de movimiento total y podemos enunciarlo de la siguiente manera:

"Cuando la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento total permanece constante".




¿Y esto qué tiene que ver con el video?


Bien. Volviendo al video presentado antes y con lo visto sobre conservación del momento lineal, podemos analizar lo que ocurre.


  • El tubo del arma está en posición horizontal, es decir, sobre el eje x. Vamos a llamarle a la masa del revólver y la mano de la persona que dispara sumadas M, mientras que la masa de la bala le llamaremos m.  Llamemos v a la velocidad relativa de la bala con respecto al cañón del revólver. 
  • Despreciando las fuerzas de resistencia dentro del tubo del arma en retroceso, encontramos que la resultante de fuerzas externas sobre el eje x es igual a cero. Además, antes del disparo el arma está en reposo.
  • Consideramos como un único sistema de partículas al conjunto formado por la bala, el revólver y los gases producto de la detonación de la pólvora. Entonces, las fuerzas que ejerce la pólvora son internas al sistema (no las conocemos) y no las debemos tener en cuenta, según vimos.
  • Ahora, si  llamamos V a la velocidad de retroceso del arma en el instante del disparo, entonces la velocidad absoluta de la bala (con respecto a un punto fijo en tierra) en ese mismo momento es igual a v+V.






Por conservación de la cantidad de movimiento sobre el eje x, vemos que P resulta igual a cero porque partimos del reposo:


De donde sale que:
Si se conoce la velocidad va absoluta de la bala al salir del arma y suponiendo que la masa del revólver es mucho mayor que la masa de la bala, es decir M>>m, entonces podemos aproximar la ecuación anterior como:


Notemos que el signo menos indica que el sentido de la velocidad V es opuesto al de v, o lo que es lo mismo, el revólver va en sentido opuesto a la bala (retroceso del arma).




Poniéndole cifras



Supongamos que la masa del revólver cargado llega a los 1,5kg (valor bastante cercano al real), la masa de la bala sea de 10grs. y la velocidad de la bala alcance los 300m/s, reemplazando en la ecuación anterior tenemos:





Esto nos explica por qué el revólver retrocede con una velocidad aproximada de unos 7km/h y si nos toma desprevenidos como le ocurrió a la tiradora, algo malo puede ocurrir.


Un ejemplo más dramático es el del soldado que sale volando cuando el cañón retrocede. ¡Nunca es buena idea ponerse detrás!







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